domingo, 30 de noviembre de 2008

Papiros y matemáticas

Los datos más antiguos que se conservan de conocimientos matemáticos proceden de Egipto y Mesopotamia. Los pocos papiros egipcios que se conservan nos proporcionan información del saber matemático de aquella época, destacando el que se conoce como papiro de Rhind o de Ahmes que data aproximadamente del siglo XVII a.c.



La mayoría de los problemas planteados en dicho papiro son de carácter aritmético, utilizando sobre todo el cálculo de fracciones y la manipulación de las proporciones. Algunos de ellos se puede decir que son específicamente algebraicos, ya que no se refieren a objetos específicos, como el pan o la cerveza, sino que piden el equivalente a resolver ecuaciones de primer grado sencillas.

El cuarto milenio antes de nuestra era fue un periodo de gran desarrollo cultural, que trajo consigo el uso de la escritura, la rueda y de los metales. Al igual que en Egipto también en Mesopotamia había ya un alto nivel de civilización, el uso generalizado de la escritura cuneiforme impuso un fuerte lazo unificador: leyes, listas de impuestos, cuentos, lecciones escolares, cartas personales, etc.

El sistema de numeración decimal, tan corriente en la mayoría de las civilizaciones tanto antiguas como modernas, quedó sumergido en Mesopotamia bajo un sistema de notación en el que la base fundamental era 60. Además, utilizaron un sistema de notación posicional para representar números grandes, dándoles a sus signos diferentes valores que dependían de la posición que ocupaban. El mayor problema con el que se encontraron era el no haber sido capaces, al principio, de inventar una manera clara de representar una posición vacía en un numeral, esto es, no desarrollaron un símbolo para el cero en su sentido posicional.

El álgebra egipcia se había centrado casi exclusivamente en las ecuaciones lineales, que los babilónicos consideraron demasiado elementales como para prestarles mucha atención. El álgebra alcanzó en Mesopotamia un nivel mucho más alto que en Egipto. Se conocen muchos problemas que aparecen en textos del periodo babilónico antiguo que demuestran que la resolución de una ecuación completa de segundo grado no ofrecía ninguna dificultad para los babilónicos, dada la flexibilidad de las operaciones algebraicas que habían desarrollado. Alcanzaron un nivel de abstracción tan grande que las ecuaciones cuadráticas fueron consideradas correctamente como simples ecuaciones de segundo grado disfrazadas.

Hay un cierto número de deficiencias en esta matemática, llamada prehelénica. Todos los documentos que se conservan contienen únicamente problemas concretos sin ningún tipo de formulación general y cabría preguntarse si estas civilizaciones primitivas se dieron cuenta de los principios unificadores de las matemáticas.

miércoles, 12 de noviembre de 2008

Galois: Punto y aparte.

Évariste Galois nació en Bourg-la-Reine (Francia) el 25 de octubre de 1811 y murió el 31 de mayo de 1832. Sólo tenía 22 años. Pese a su corta vida realizó descubrimientos matemáticos tan importantes que supusieron un antes y un después en la historia del Álgebra. Podemos decir que con él acabó el álgebra clásica y comenzó el álgebra moderna.
Évariste Galois creció en una sociedad convulsa y post-relovucionaria que estaba asumiendo la transición entre un sistema monárquico absolutista y un sistema parlamentario salpicado por las aventuras del autoproclamado emperador Napoleón. Hijo de un alcalde napoleónico tuvo la oportunidad de acceder a la cultura y recibir educación estudiando en el Liceo Royal de Louis-le-Grand (donde habían estudiado Robespierre y Victor Hugo).
Galois no fue un buen estudiante, aún se conservan anotaciones de algunos de sus profesores (Sr. Pierrot, Sr. Desforgues) acerca de su rendimiento:
  • "Conducta muy mala, carácter poco abierto. No hace absolutamente nada en clase. Pierde su tiempo aquí y no hace más que atormentar a sus profesores y hacerse abrumar de castigos"
  • "Disipado, hablador. Pone empeño en cansarme, y sería muy mal ejemplo si tuviera alguna influencia sobre sus compañeros"

Sin embargo, su profesor de matemáticas preparatorias en el liceo (Sr. Vernier) dice de él lo siguiente:

  • "Le domina el furor por las matemáticas. Inteligencia, progresos sobresalientes. Insuficiencia de método"

He ahí la clave: Insuficiencia de método. Desarrolló sus propios métodos para resolver problemas. Mientras que sus compañeros resolvían problemas concretos, él creaba métodos generales de los que se deducían las situaciones particulares.

A lo largo de la historia el álgebra se había enfocado hacia la resolución de ecuaciones, ya fueran chinos, hindúes, egipcios, mesopotámicos, griegos o árabes; todos querían resolver ecuaciones. Cada civilización, a través de sus matemáticos, aportaba soluciones a determinados tipos de ecuaciones, pero siempre quedaban algunas por resolver. Primero se encuentra la solución general o la fórmula a la ecuación de primer grado, luego a la de segundo, más tarde a la de tercero y finalmente a la de cuarto. Si se había hallado una fórmula para éstas, no era una locura buscarla para grados superiores, de modo que, el problema de resolver ecuaciones continuaba abierto. Sin embargo, las investigaciones de un matemático noruego, contemporáneo de Galois, Niels Henrik Abel, cerraron parcialmente el problema ya que demostró que no existe fórmula general para resolver ecuaciones polinómicas de grado superior a cuatro. Este resultado fue prolongado por Galois al establecer las condiciones que tienen que cumplir las ecuaciones particulares de cualquier grado para poder resolverse por radicales, esto es, para resolverlas a partir de sus coeficientes por medio de las cuatro operaciones básicas y raíces de índice como máximo igual al grado.

Por tanto el problema está cerrado, Galois resuelve cualquier tipo de ecuación. Gracias a lo que se conoce actualmente como "Teoría de Galois" el álgebra de resolver ecuaciones, es decir, el álgebra clásica ha finalizado. Comienza el álgebra de los conjuntos y las operaciones, el álgebra moderna. Punto y aparte.

viernes, 7 de noviembre de 2008

Leibniz: Él también fue el padre de la criatura

Gottfried Wilhem Leibniz nació en Leipzig en 1646 (exactamente 50 años después de Descartes) y murió en Hannover en 1716.

Leibniz fue un filósofo y matemático alemán hijo de un profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig que falleció cuando Leibniz era niño. Se trata de un genio precoz ya que con ocho años ya era capaz de escribir poemas en latín, y con doce estudiaba filosofía escolástica, lo que le permitió acceder a la lógica aristotélica.
Se trata de un hombre religioso, un protestante muy cercano al catolicismo que abogaba por la unión de las iglesias.

En 1661 ingresó en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos años después se trasladó a la Universidad de Jena, donde estudió matemáticas.

Además de filósofo y matemático, fue físico (uno de los grandes), jurista, historiador, incluso, en ocasiones, diplomático (en 1672 fue enviado a París con la misión de disuadir a Luis XIV de su propósito de invadir Alemania; aunque fracasó en la embajada, Leibniz permaneció cinco años en París, donde desarrolló una fecunda labor intelectual).

Entre sus inventos destaca la construcción de una máquina de calcular capaz de realizar las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas. ¡Y creíamos que las calculadoras las habían inventado los japoneses hace cuatro días!

Su gran descubrimiento matemático es el Cálculo Infinitesimal, que llamó "Calcul de l'infinement petit", esto es , "Cálculo de lo infinitamente pequeño". Es un descubrimiento que se hizo paralela e independientemente a lo de Newton, que llamó a su descubrimiento Método de las Fluxiones. Por eso podemos afirmar que Leibniz también es el padre de la criatura.

Se trata de una figura extraordinaria: es quizá el último hombre en Europa capaz de "poseer" el universo de las ciencias, después esto no ha sido posible, por la especialización, por el crecimiento de la información... De hecho, actualmente se llega hasta el extremo de que los científicos no conocen la disciplina que profesan, sino que sólo conocen una pequeña parcela de ella. Hay una parcelación del saber que impide la visión universal que posee todavía Leibniz.