sábado, 14 de febrero de 2009

Realidad e imaginación

Si bien a principios del siglo XVIII ya eran conocidos todos los tipos usuales de números (naturales, enteros , racionales, reales y complejos) aún subsistía una cierta oposición al uso libre de números complejos e incluso negativos, posiblemente debido a que no se comprendía bien su naturaleza. Dentro de aquellos matemáticos que usaban estos números no era extraño encontrar errores en conceptos que hoy en día pueden resultarnos triviales. Así, por ejemplo, Euler asegura en uno de sus trabajos que los números negativos son mayores que infinito.
Tampoco se tiene muy clara la naturaleza de los números irracionales, aunque se comprueba que algunos de los números usados en el análisis lo son. De hecho, Euler demuestra que e es irracional, y poco después, Lambert demuestra lo mismo para el número Pi. Para lectores poco avanzados hay que decir que los números irracionales se pueden separar en dos conjuntos disjuntos los algebraicos y los trascendentes, los primeros son raíz de algún polinomio con coeficientes racionales, y los segundos no lo son para ningún polinomio. Es curioso el origen de su nombre, a los números no algebraicos se les llama trascendentes porque, según Euler, ellos trascienden el poder de los métodos algebraicos. Es en este siglo cuando empieza a aparecer la noción de número trascendente. El primero en distinguir estos dos tipos de irracionales es el matemático francés Legendre que conjetura la trascendencia de Pi. Durante todo el siglo XVIII la existencia de números trascendentes será un problema abierto.
La cuestión de la validez del uso de números complejos es aún más delicada y, además, se convierte en prioritario al usarse en la práctica en el cálculo de integrales racionales. El primer intento de fundamentar los números complejos se debe a Walllis que en 1685 da una interpretación geométrica de los números complejos en el plano. Aunque su trabajo era correcto, sus limitaciones hicieron que no fuera útil para otros propósitos y que su influencia fuera escasa.
Sin embargo, poco a poco, se va tomando cada vez más confianza en el uso de los números complejos como pasos intermedios de operaciones y se van resolviendo algunos problemas que aparecen con ellos, así como se amplían sus aplicaciones, pero sin que se obtenga una correcta justificación de su uso que permita tener una seguridad en la corrección de los cálculos.
Ya en el siglo XIX Gauss demostrará correctamente por primera vez el teorema fundamental del álgebra y Cauchy desarrollará todo el análisis complejo pero sin perder del todo la desconfianza hacia estos números.
El francés D'Alambert en la Enciclopedia dice:
"Las reglas algebraicas de operaciones con números negativos son admitidas generalmente por todos y reconocidas como exactas, cualquiera que sea la idea que tengamos sobre estas cantidades".

En definitiva, todas estas dudas son facilmente comprensibles pues es difícil imaginar este número que al cuadrado es -1. Estos números no están en el mundo real, sino en el imaginario y...esa es una situación muy compleja.

miércoles, 4 de febrero de 2009

Y llegaron los escolásticos

Hacia 1100 Europa ya había establecido relaciones comerciales regulares con el Oriente Próximo y el ambiente intelectual europeo empezó a recibir nuevas influencias cuando se fueron conociendo los trabajos griegos gracias a los árabes y a los griegos bizantinos. El conocimiento de la cultura griega produjo una gran conmoción y los europeos empezaron a buscar copias de los trabajos griegos o de sus versiones árabes. Así se llegaron a conocer, entre otros, los trabajos de Euclides y Ptolomeo y algunos de los trabajos de Arquímedes. Los europeos, que quedaron asombrados por estas obras, se convirtieron en seguidores del pensamiento griego.
Inmediatamente después de la llegada de las primeras traducciones de los trabajos de árabes y griegos comenzó a surgir un enfoque racional de los fenómenos naturales. Se comenzaron a buscar explicaciones racionales incluso de pasajes de la Biblia y se empezó a hablar de la necesidad de utilizar las matemáticas para el estudio de la naturaleza.
La introducción de algunos de los trabajos griegos, como los de Aristóteles, retrasó el desarrollo de las matemáticas en Europa un par de siglos. A lo largo de la Edad Media, Aristóteles había sido conocido principalmente por sus trabajos sobre lógica pero hacia 1200 otras de sus obras ya eran razonablemente conocidas. Durante el siglo XIII comenzaron a circular libremente sus obras científicas que fueron reestablecidas como objeto de estudio fundamental. Los intelectuales europeos quedaron muy impresionados por su organización lógica del conocimiento.
El defecto de la doctrina aristotélica fue su aceptación de todas las ideas que pudieran interesar a la mente, pero sin considerar apenas su correspondencia con la experiencia. Como la doctrina aristotélica era aceptada sin discusión, las nuevas ideas que surgieron tuvieron escasa acogida y se retrasó el posible progreso que habrían producido. Otro obstáculo fue el papel menor que concedía Aristóteles a las matemáticas.
El trabajo científico comprendido entre los años 1100-1450 fue realizado por los escolásticos que se adhirieron a las doctrinas basadas en la autoridad de los Padres Cristianos y de Aristóteles. En la Física de Aristóteles ya se había explorado la naturaleza del infinito, de los indivisibles o átomos, de los infinitésimos y del continuo, y del movimiento. Los escolásticos, siguiendo a Aristóteles, se ocuparon del estudio de estas ideas, iniciándose un largo periodo de prolijas y detalladas discusiones y disputas sobre ellas. Tales especulaciones se centraban en los aspectos metafísicos y no en la búsqueda de una representación consistente con las premisas de las matemáticas, efectiva y concluyente desde un punto de vista científico. Las disputas del siglo XIV acerca de los indivisibles, el infinito y el continuo mostraron una enorme agudeza y claridad de pensamiento que permitió evidenciar muchas dificultades lógicas que no serían resueltas hasta los siglos XIX y XX. Esto allanó el camino a los métodos infinitesimales de siglos posteriores que finalmente condujeron al cálculo.