Leonardo da Pisa

The most important and productive mathematician in the Middle Ages was Leonardo da Pisa, also known as Leonardo Pisano and “Fibonacci”.
In 1192 Leonardo’s father was appointed director in a commercial company in Bugia (Algeria). In this city Fibonacci had an Arab teacher and learned to calculate with the new Indian-Arabic numerals that we use nowadays. Leonardo travelled to Egypt, Syria, Greece, Sicily and the south of France. In these places he met erudite and mathematics students.
In 1200 Fibonacci came back to Pisa, where he was born in 1175, and wrote several books with mathematical contents. We only keep: Liber Abaci (1202), Practica Geometricae (1220), Flos (1225), Letter to Theodor and Liber Quadratorum (1225).
In Liber Abaci, Leonardo da Pisa did a satisfactory processing in Arithmetic and Algebra. He shows how to name and write numbers in the Indian-Arabic system along the fifteen chapters of the book, explains calculating methods with natural numbers and fractions, calculates square and cube roots, obtains solutions of linear and quadratic equations, solves barter problems, etc… and investigates geometry in a practical sense. In this book the rabbit problem is proposed.
The solution of the problem drives you to the famous Fibonacci sequence: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… where each number is the sum of the previous two.
It could be strange but we found the Fibonacci sequence in the spiral distribution of the leaves in a stem, in some groups of composed flowers, in a fountain designed by the North American mathematician and sculptor Helaman Ferguson, in a chimney in Turku (Finland), in two sculptures of the Australian Andrew Rogers placed in Jerusalem and in the Aravaca dessert (Israel)…

Comunicación matemática

Para manifestar o introducir aspectos de la realidad en nuestra mente, abstraerlos o transformarlos en ideas tenemos que usar un artificio que las sustituya; por ello la humanidad ha creado una inmensa variedad de elementos de comunicación que llamamos símbolos. Empleando los símbolos se han creado estructuras de comunicación más complejas que han generado diversas gamas de lenguaje que utilizamos hoy en día.

Entre estas gamas de lenguaje se encuentra la matemática que constituye uno de los elementos de comunicación, expresión y comprensión más poderoso que ha inventado el hombre. Las matemáticas generan sus propias palabras y reglas para poder decir aquello que le compete y que el lenguaje usual no puede expresar o, cuando lo hace, resulta muy complicado y complejo.
En general, un lenguaje es todo sistema que se emplea para comunicar sentimientos o ideas por medio de un conjunto de símbolos. Un lenguaje formal utiliza un alfabeto constituído por un conjunto de signos o símbolos y que pueden ser conectores, identificadores..., una colección infinita numerable de letras llamadas variables y signos de puntuación.

Se entiende por Álgebra la parte de las matemáticas que trata de la cantidad en general, valiéndose de letras y símbolos para representarla. El lenguaje que se utiliza en esta parte de la matemática recibe el nombre de lenguaje algebraico. El uso de las letras como variables procede de la geometría griega, aunque en el álgebra su empleo es más tardío. El modelo algebraico nace como generalización del modelo numérico. Si para trabajar con un modelo aritmético tenemos que aprender a realizar cálculos con números, para hacer lo mismo con un modelo algebraico debemos aprender a trabajar en cálculos con variables.

Todo cálculo algebraico se construye a partir de las cinco propiedades características del sistema numérico: conmutativa y asociativa de la suma y del producto, y distributiva del producto respecto de la suma. El principio de permanencia de las formas equivalentes, introducido por G. Peacock, afirma que todas las reglas anteriores que se verifican para los números naturales siguen haciéndolo para todos los demás números u objetos representados por letras.

Parece así evidente que los problemas de la aritmética se trasladen al álgebra que, al ser ésta una generalización de aquella, permita resolverlos, y que, además, le surjan problemas propios e inherentes.

Eureka: cuando se halla o se descubre algo que se busca con afán

Arquímedes vivió entre 287 y 212 ac y está considerado como el más importante de los científicos de la Antigüedad. Aunque apenas se movió de su ciudad natal, la colonia griega de Siracusa (la actual Sicilia italiana), mantuvo contactos con los más eminentes sabios de su época, como el director de la Biblioteca de Alejandría, Eratóstenes. Destacó en todo tipo de disciplinas, incluyendo la física, la ingeniería y la matemática, aunque no todas sus obras han llegado hasta nuestros días.
Uno de sus principales motivos de interés fue la determinación de las áreas y volúmenes de figuras con curvas. Fue el primero en realizar una aproximación correcta al valor del número Pi, mediante límites dados por polígonos circunscritos e inscritos en un círculo. Este método de razonamiento, que fue llamado mucho después "método de exhausción" fue también utilizado anteriormente por Eudoxo y por Euclides. Este método contiene el germen de la moderna noción de límite y de lo que muchos siglos después sería el cálculo infinitesimal, aunque Arquímedes sólo hizo uso de él como un método de demostración de resultados geométricos.
Sin embargo, uno de sus hallazgos más conocidos es el princípio que lleva su nombre, sobre el empuje que experimentan hacia arriba los cuerpos sumergidos en un fluido y que explica la flotabilidad de algunos de ellos. Cuenta la leyenda que Arquímedes estaba tomando un baño, y comprender la subida del nivel del agua salió corriendo, acausa de la emoción, desnudo por las calles gritando "Eureka".

También son famosas sus leyes sobre la palanca y, uno de sus inventos, el "tornillo de Arquímedes", un singular sistema que permite llevar agua desde un lugar a otro más alto y que se ha utilizado durante más de dos mil años.

Realidad e imaginación

Si bien a principios del siglo XVIII ya eran conocidos todos los tipos usuales de números (naturales, enteros , racionales, reales y complejos) aún subsistía una cierta oposición al uso libre de números complejos e incluso negativos, posiblemente debido a que no se comprendía bien su naturaleza. Dentro de aquellos matemáticos que usaban estos números no era extraño encontrar errores en conceptos que hoy en día pueden resultarnos triviales. Así, por ejemplo, Euler asegura en uno de sus trabajos que los números negativos son mayores que infinito.

Tampoco se tiene muy clara la naturaleza de los números irracionales, aunque se comprueba que algunos de los números usados en el análisis lo son. De hecho, Euler demuestra que e es irracional, y poco después, Lambert demuestra lo mismo para el número Pi. Para lectores poco avanzados hay que decir que los números irracionales se pueden separar en dos conjuntos disjuntos los algebraicos y los trascendentes, los primeros son raíz de algún polinomio con coeficientes racionales, y los segundos no lo son para ningún polinomio. Es curioso el origen de su nombre, a los números no algebraicos se les llama trascendentes porque, según Euler, ellos trascienden el poder de los métodos algebraicos. Es en este siglo cuando empieza a aparecer la noción de número trascendente. El primero en distinguir estos dos tipos de irracionales es el matemático francés Legendre que conjetura la trascendencia de Pi. Durante todo el siglo XVIII la existencia de números trascendentes será un problema abierto.
La cuestión de la validez del uso de números complejos es aún más delicada y, además, se convierte en prioritario al usarse en la práctica en el cálculo de integrales racionales. El primer intento de fundamentar los números complejos se debe a Walllis que en 1685 da una interpretación geométrica de los números complejos en el plano. Aunque su trabajo era correcto, sus limitaciones hicieron que no fuera útil para otros propósitos y que su influencia fuera escasa.

Sin embargo, poco a poco, se va tomando cada vez más confianza en el uso de los números complejos como pasos intermedios de operaciones y se van resolviendo algunos problemas que aparecen con ellos, así como se amplían sus aplicaciones, pero sin que se obtenga una correcta justificación de su uso que permita tener una seguridad en la corrección de los cálculos.
Ya en el siglo XIX Gauss demostrará correctamente por primera vez el teorema fundamental del álgebra y Cauchy desarrollará todo el análisis complejo pero sin perder del todo la desconfianza hacia estos números.

El francés D'Alambert en la Enciclopedia dice:
"Las reglas algebraicas de operaciones con números negativos son admitidas generalmente por todos y reconocidas como exactas, cualquiera que sea la idea que tengamos sobre estas cantidades".

En definitiva, todas estas dudas son facilmente comprensibles pues es difícil imaginar este número que al cuadrado es -1. Estos números no están en el mundo real, sino en el imaginario y...esa es una situación muy compleja.

Y llegaron los escolásticos

Hacia 1100 Europa ya había establecido relaciones comerciales regulares con el Oriente Próximo y el ambiente intelectual europeo empezó a recibir nuevas influencias cuando se fueron conociendo los trabajos griegos gracias a los árabes y a los griegos bizantinos. El conocimiento de la cultura griega produjo una gran conmoción y los europeos empezaron a buscar copias de los trabajos griegos o de sus versiones árabes. Así se llegaron a conocer, entre otros, los trabajos de Euclides y Ptolomeo y algunos de los trabajos de Arquímedes. Los europeos, que quedaron asombrados por estas obras, se convirtieron en seguidores del pensamiento griego.

Inmediatamente después de la llegada de las primeras traducciones de los trabajos de árabes y griegos comenzó a surgir un enfoque racional de los fenómenos naturales. Se comenzaron a buscar explicaciones racionales incluso de pasajes de la Biblia y se empezó a hablar de la necesidad de utilizar las matemáticas para el estudio de la naturaleza.

La introducción de algunos de los trabajos griegos, como los de Aristóteles, retrasó el desarrollo de las matemáticas en Europa un par de siglos. A lo largo de la Edad Media, Aristóteles había sido conocido principalmente por sus trabajos sobre lógica pero hacia 1200 otras de sus obras ya eran razonablemente conocidas. Durante el siglo XIII comenzaron a circular libremente sus obras científicas que fueron reestablecidas como objeto de estudio fundamental. Los intelectuales europeos quedaron muy impresionados por su organización lógica del conocimiento.

El defecto de la doctrina aristotélica fue su aceptación de todas las ideas que pudieran interesar a la mente, pero sin considerar apenas su correspondencia con la experiencia. Como la doctrina aristotélica era aceptada sin discusión, las nuevas ideas que surgieron tuvieron escasa acogida y se retrasó el posible progreso que habrían producido. Otro obstáculo fue el papel menor que concedía Aristóteles a las matemáticas.

El trabajo científico comprendido entre los años 1100-1450 fue realizado por los escolásticos que se adhirieron a las doctrinas basadas en la autoridad de los Padres Cristianos y de Aristóteles. En la Física de Aristóteles ya se había explorado la naturaleza del infinito, de los indivisibles o átomos, de los infinitésimos y del continuo, y del movimiento. Los escolásticos, siguiendo a Aristóteles, se ocuparon del estudio de estas ideas, iniciándose un largo periodo de prolijas y detalladas discusiones y disputas sobre ellas. Tales especulaciones se centraban en los aspectos metafísicos y no en la búsqueda de una representación consistente con las premisas de las matemáticas, efectiva y concluyente desde un punto de vista científico. Las disputas del siglo XIV acerca de los indivisibles, el infinito y el continuo mostraron una enorme agudeza y claridad de pensamiento que permitió evidenciar muchas dificultades lógicas que no serían resueltas hasta los siglos XIX y XX. Esto allanó el camino a los métodos infinitesimales de siglos posteriores que finalmente condujeron al cálculo.

Matemáticas en la Alta Edad Media

La matemática romana había sido insignificante y al principio los europeos sólo pudieron adquirir en los libros latinos unos pocos conocimientos de aritmética. También conocieron un poco de matemática griega a través de algunos traductores como Anicio Manlio Severino Boecio (480-524), Aurelio Casidoro (475-570), Isidoro de Sevilla (569-636) y Beda el Venerable (647-735) que fueron los eslabones principales entre la matemática griega y la de los primeros tiempos del mundo medieval. La iglesia apoyaba el estudio de las matemáticas por su utilidad en el cálculo del calendario y porque eran consideradas como un buen entrenamiento para el razonamiento teológico.

Durante la Alta Edad Media los elementos disponibles para la enseñanza de la matemática eran escasos. La Geometría formaba parte del quadrivium y su objeto era el estudio de magnitudes tales como longitudes, áreas y volúmenes en reposo. A través de la astrología se estableció una curiosa relación entre las matemáticas y la medicina; los médicos tenían más de astrólogos y matemáticos que de estudiosos del cuerpo humano. En muchas universidades los profesores de astrología eran más comunes que los de medicina y astronomía propiamente dicha.

Durante los 700 años de la Alta Edad Media, desde el 400 hasta el 1200 las matemáticas no experimentaron ningún progreso. Europa no empezó a participar en el desarrollo de las matemáticas hasta que la civilización árabe comenzó a declinar.

La razón primordial del bajo nivel de las matemáticas era la ausencia de interés por el mundo físico. La cristiandad sólo imponía preocupaciones espirituales y los interrogantes sobre la naturaleza, motivados por la curiosidad o por fines prácticos, no se consideraban de interés. Lo que dominaba eran las doctrinas del pecado, el miedo al infierno, la preocupación sobre la salvación del alma y el deseo del cielo. El estudio de la Naturaleza se dejaba de lado porque no contribuía a alcanzar estos fines. Todo el conocimiento sobre la Naturaleza y el plan del universo y del hombre se obtenía de las Escrituras Sagradas. Los credos y dogmas, que eran las interpretaciones de éstas que hacían los Padres de la Iglesia, se tomaban como la suprema autoridad. Esta actidud se refleja en la siguiente frase de San Agustín:

• "Cualquier conocimiento que el hombre haya adquirido fuera de las Sagradas Escrituras, si es dañino, allí está condenado; si es saludable, allí está contenido"

Hasta 1100 el periodo medieval no produjo ningún adelanto cultural de relieve. El ambiente intelectual estaba impregnado de misticismo, dogmatismo y confianza en las autoridades que eran continuamente consultadas. Apenas había ciencia teórica, la Teología encerraba todo el conocimiento, y no se buscaban principios diferentes de los contenidos en las escrituras.

Si la civilización romana no produjo casi nada en matemáticas porque estaba demasiado interesada por resultados prácticos aplicables, a la civilización europea le ocurrió todo lo contrario: no estaba preocupada en absoluto por el mundo físico. La cristiandad puso todo el énfasis en la vida después de la muerte y en la preparación para esa vida. Las matemáticas no pueden florecer ni en una civilización demasiado ligada a la tierra ni en una demasiado ligada al cielo.

Las matemáticas se han desarrollado con éxito en ambientes intelectuales libres que combinan el interés por los problemas del mundo físico con un deseo de pensar en forma abstracta sobre las ideas sugeridas por estos problemas, sin buscar un resultado práctico inmediato. La Naturaleza es la madre de las ideas que luego se estudian por sí mismas. Se obtiene así una nueva visión de la naturaleza, una comprensión más rica y amplia que vuelve a impulsar a su vez otras actividades matemáticas más profundas.

La Edad Media: Las primeras universidades

Conforme la iglesia convertía gradualmente a los bárbaros germánicos y godos al cristianismo iba fundando escuelas asociadas a monasterios que conservaban fragmentos de las culturas griegas y romana. En la última mitad del siglo VIII empezaron a fundarse escuelas seglares que seguían estando asociadas a catedrales y monasterios. Las universidades europeas se desarrollaron a partir de estas escuelas eclesiásticas, con profesores suministrados por las órdenes religiosas como los franciscanos y los dominicos.

La primera universidad fue fundada en Bolonia en 1088. Las universidades de París, Salerno, Oxford y Cambridge fueron establecidas alrededor de 1200. En sus comienzos estas universidades, esencialmente dedicadas a intereses de la iglesia no se pueden considerar como universidades con algún parecido a las actuales. El latín, que era la lengua oficial de la iglesia, se convirtió en la lengua internacional de la ciencia en toda Europa.