Y llegaron los escolásticos

Hacia 1100 Europa ya había establecido relaciones comerciales regulares con el Oriente Próximo y el ambiente intelectual europeo empezó a recibir nuevas influencias cuando se fueron conociendo los trabajos griegos gracias a los árabes y a los griegos bizantinos. El conocimiento de la cultura griega produjo una gran conmoción y los europeos empezaron a buscar copias de los trabajos griegos o de sus versiones árabes. Así se llegaron a conocer, entre otros, los trabajos de Euclides y Ptolomeo y algunos de los trabajos de Arquímedes. Los europeos, que quedaron asombrados por estas obras, se convirtieron en seguidores del pensamiento griego.

Inmediatamente después de la llegada de las primeras traducciones de los trabajos de árabes y griegos comenzó a surgir un enfoque racional de los fenómenos naturales. Se comenzaron a buscar explicaciones racionales incluso de pasajes de la Biblia y se empezó a hablar de la necesidad de utilizar las matemáticas para el estudio de la naturaleza.

La introducción de algunos de los trabajos griegos, como los de Aristóteles, retrasó el desarrollo de las matemáticas en Europa un par de siglos. A lo largo de la Edad Media, Aristóteles había sido conocido principalmente por sus trabajos sobre lógica pero hacia 1200 otras de sus obras ya eran razonablemente conocidas. Durante el siglo XIII comenzaron a circular libremente sus obras científicas que fueron reestablecidas como objeto de estudio fundamental. Los intelectuales europeos quedaron muy impresionados por su organización lógica del conocimiento.

El defecto de la doctrina aristotélica fue su aceptación de todas las ideas que pudieran interesar a la mente, pero sin considerar apenas su correspondencia con la experiencia. Como la doctrina aristotélica era aceptada sin discusión, las nuevas ideas que surgieron tuvieron escasa acogida y se retrasó el posible progreso que habrían producido. Otro obstáculo fue el papel menor que concedía Aristóteles a las matemáticas.

El trabajo científico comprendido entre los años 1100-1450 fue realizado por los escolásticos que se adhirieron a las doctrinas basadas en la autoridad de los Padres Cristianos y de Aristóteles. En la Física de Aristóteles ya se había explorado la naturaleza del infinito, de los indivisibles o átomos, de los infinitésimos y del continuo, y del movimiento. Los escolásticos, siguiendo a Aristóteles, se ocuparon del estudio de estas ideas, iniciándose un largo periodo de prolijas y detalladas discusiones y disputas sobre ellas. Tales especulaciones se centraban en los aspectos metafísicos y no en la búsqueda de una representación consistente con las premisas de las matemáticas, efectiva y concluyente desde un punto de vista científico. Las disputas del siglo XIV acerca de los indivisibles, el infinito y el continuo mostraron una enorme agudeza y claridad de pensamiento que permitió evidenciar muchas dificultades lógicas que no serían resueltas hasta los siglos XIX y XX. Esto allanó el camino a los métodos infinitesimales de siglos posteriores que finalmente condujeron al cálculo.

Matemáticas en la Alta Edad Media

La matemática romana había sido insignificante y al principio los europeos sólo pudieron adquirir en los libros latinos unos pocos conocimientos de aritmética. También conocieron un poco de matemática griega a través de algunos traductores como Anicio Manlio Severino Boecio (480-524), Aurelio Casidoro (475-570), Isidoro de Sevilla (569-636) y Beda el Venerable (647-735) que fueron los eslabones principales entre la matemática griega y la de los primeros tiempos del mundo medieval. La iglesia apoyaba el estudio de las matemáticas por su utilidad en el cálculo del calendario y porque eran consideradas como un buen entrenamiento para el razonamiento teológico.

Durante la Alta Edad Media los elementos disponibles para la enseñanza de la matemática eran escasos. La Geometría formaba parte del quadrivium y su objeto era el estudio de magnitudes tales como longitudes, áreas y volúmenes en reposo. A través de la astrología se estableció una curiosa relación entre las matemáticas y la medicina; los médicos tenían más de astrólogos y matemáticos que de estudiosos del cuerpo humano. En muchas universidades los profesores de astrología eran más comunes que los de medicina y astronomía propiamente dicha.

Durante los 700 años de la Alta Edad Media, desde el 400 hasta el 1200 las matemáticas no experimentaron ningún progreso. Europa no empezó a participar en el desarrollo de las matemáticas hasta que la civilización árabe comenzó a declinar.

La razón primordial del bajo nivel de las matemáticas era la ausencia de interés por el mundo físico. La cristiandad sólo imponía preocupaciones espirituales y los interrogantes sobre la naturaleza, motivados por la curiosidad o por fines prácticos, no se consideraban de interés. Lo que dominaba eran las doctrinas del pecado, el miedo al infierno, la preocupación sobre la salvación del alma y el deseo del cielo. El estudio de la Naturaleza se dejaba de lado porque no contribuía a alcanzar estos fines. Todo el conocimiento sobre la Naturaleza y el plan del universo y del hombre se obtenía de las Escrituras Sagradas. Los credos y dogmas, que eran las interpretaciones de éstas que hacían los Padres de la Iglesia, se tomaban como la suprema autoridad. Esta actidud se refleja en la siguiente frase de San Agustín:

• "Cualquier conocimiento que el hombre haya adquirido fuera de las Sagradas Escrituras, si es dañino, allí está condenado; si es saludable, allí está contenido"

Hasta 1100 el periodo medieval no produjo ningún adelanto cultural de relieve. El ambiente intelectual estaba impregnado de misticismo, dogmatismo y confianza en las autoridades que eran continuamente consultadas. Apenas había ciencia teórica, la Teología encerraba todo el conocimiento, y no se buscaban principios diferentes de los contenidos en las escrituras.

Si la civilización romana no produjo casi nada en matemáticas porque estaba demasiado interesada por resultados prácticos aplicables, a la civilización europea le ocurrió todo lo contrario: no estaba preocupada en absoluto por el mundo físico. La cristiandad puso todo el énfasis en la vida después de la muerte y en la preparación para esa vida. Las matemáticas no pueden florecer ni en una civilización demasiado ligada a la tierra ni en una demasiado ligada al cielo.

Las matemáticas se han desarrollado con éxito en ambientes intelectuales libres que combinan el interés por los problemas del mundo físico con un deseo de pensar en forma abstracta sobre las ideas sugeridas por estos problemas, sin buscar un resultado práctico inmediato. La Naturaleza es la madre de las ideas que luego se estudian por sí mismas. Se obtiene así una nueva visión de la naturaleza, una comprensión más rica y amplia que vuelve a impulsar a su vez otras actividades matemáticas más profundas.

La Edad Media: Las primeras universidades

Conforme la iglesia convertía gradualmente a los bárbaros germánicos y godos al cristianismo iba fundando escuelas asociadas a monasterios que conservaban fragmentos de las culturas griegas y romana. En la última mitad del siglo VIII empezaron a fundarse escuelas seglares que seguían estando asociadas a catedrales y monasterios. Las universidades europeas se desarrollaron a partir de estas escuelas eclesiásticas, con profesores suministrados por las órdenes religiosas como los franciscanos y los dominicos.

La primera universidad fue fundada en Bolonia en 1088. Las universidades de París, Salerno, Oxford y Cambridge fueron establecidas alrededor de 1200. En sus comienzos estas universidades, esencialmente dedicadas a intereses de la iglesia no se pueden considerar como universidades con algún parecido a las actuales. El latín, que era la lengua oficial de la iglesia, se convirtió en la lengua internacional de la ciencia en toda Europa.

Gigantes: Breve cronología

1450-Invención de la imprenta.

1482-Primera impresión en Venecia de los Elementos de Euclides.

1550-Se edita la mayor parte de la obra de Arquímedes.

1564-Nace Galileo Galilei.

1571-Nace Johann Kepler.

1586-Publicación de la Estática de Stevin.

1591-Publicación de la Introducción al arte Analítico de Viète.

1596-Nace Descartes.

1598-Nace Cavalieri.

1601-Nace Fermat.

1608-Nace Torricelli.

1609-Publicación de la Astronomía Nova de Kepler.

1615-Publicación de la Stereometría dolium (volúmenes de revolución) de Kepler.

1616-Nace John Wallis.

1624-Nace Pascal.

1627-Cavalieri desarrolla sus ideas sobre indivisibles.

1627-Descartes desarrolla la geometría analítica.

1630-Nace Barrow.

1632-Publicación de Los dos sistemas principales del mundo de Galileo.

1635-Reedición de Geometría indivisibilibus de Cavalieri.

1636-Fermat escribe Methodus and disquirendam maximan et miniman.

1636-Fermat descubre el principio fundamental de la geometría analítica.

1637-Fermat escribe Introducción a los lugares planos y sólidos.

1637-Publicación de la Geometría de Descartes.

1641-Torricelli calcula el volumen obtenido al girar la región no acotada limitada por la hipérbola.

1642-Muere Galileo.

1642-Nace Newton.

1645-Roverval y Torricelli rectifican la espiral de Arquímedes.

1646-Torricelli estudia la función logarítmica.

1647-Publicación de Exercitationes geometricae sex de Cavalieri.

1650-Muere Descartes.

1655-Publicación de Arithmética infinitorum de Wallis.

1658-Publicación del Tratado sobre cuadratura de Fermat.

1658-Pascal integra la función seno en Traité des sinus.

1659-Publicación de Lettres de A. Dettonville de Pascal sobre la cicloide.

1661-Muere Pascal.

1664-Barrow es profesor de geometría en Cambridge.

1665-Muere Fermat.

1666-Se funda la Academia Francesa de Ciencias.

1666-Newton crea el Cálculo.

René Descartes: Ideas revolucionarias

Podemos decir que la matemática moderna empieza hace tres siglos, cuando la máquina algebraica se empieza a aplicar a la geometría, y el estudio de curvas, superficies y figuras geométricas se traduce en el estudio de determinadas ecuaciones. Esta idea tan revolucionaria, que marcó el comienzo de un período completamente nuevo para las ciencias matemáticas, es sencilla; y hoy día es sabida y está tan difundida que todos la conocemos, aunque no se tenga muy clara en la mente. Todos sabemos lo que significa la introducción de un sistema de coordenadas en el plano o en el espacio.

Un diagrama cartesiano es algo que se ve prácticamente a diario, lo que ocurre es que no sabemos que se llama precisamente así: diagrama cartesiano. Se trata de una idea que fue expresada por primera vez de una forma sistemática y con gran utilidad práctica por un gran contemporáneo de Galileo Galilei; el filósofo y matemático francés René Descartes. Puesto que descartes quiere decir de las cartas y puesto que en el siglo XVII el latín era tan utilizado por los estudiosos que traducían hasta sus nombres y apellidos, Descartes es conocido por Cartesius, y de ahí el adjetivo cartesiano.

Descartes escribió muchísimos libros, más o menos importantes (algunos muy importantes) de física, filosofía y otros temas. De matemáticas también escribió varias cosas; pero su nombre en este campo está unido, sobre todo, a un libro de pocas páginas, la Géométrie, publicado en 1637. En esta obra se expone una idea, o mejor dicho un método, que iba a conducir a una revolución tan grande, a un desarrollo tan impetuoso de todas las ciencias, que se puede decir que la fecha de la publicación de la Géométrie es la fecha del nacimiento de la ciencia moderna.

Naturalmente hay que saber interpretar esta observación. Sólo para las personas hay un día, una hora, un instante preciso para el nacimiento. Para las ideas la cosa es diferente, y tanto más difícil es la cuestión cuando se trata del nacimiento de la ciencia moderna.
La nueva y feliz idea estaba en el aire en aquella época; también la había captado y la aplicaba en las mismas fechas, o incluso antes, otro francés genial, un hombre de leyes, Pierre Fermat, que en sus ratos libres se entretenía con las matemáticas. "Estar en el aire" en el fondo significa sólo esto: que en un momento determinado se dan todos los conocimientos e ideas preliminares que permiten el surgimiento de la nueva idea.

Al-Khowarizmi: El origen de las palabras

Mientras el matemático hindú Brahmagupta escribía sus tratados matemáticos la península arábiga se encontraba sumida en una profunda crisis. Arabia estaba habitada mayoritariamente por nómadas del desierto, beduinos, que no sabían leer ni escribir. En este contexto nació Mahoma hacia el año 570. Con el transcurso del tiempo se convirtió en un lider militar y religioso, llegando a establecer un estado mahometano cuyo centro era La Meca. Tras su muerte sus segidores se desplazaron a territorios fronterizos y el imperio islámico se extendió por el norte de África, España, parte de Asia y Europa Occidental.

La primera expansión del imperio islámico fue bajo el profeta mahoma 622-632, la segunda expansión fue bajo los Califas Ortodoxos 632-661, y la tercera expansión fue durante la Dinastía Omeya.

Al principio los árabes no manifestaron interés cultural, pero poco a poco empezaron a mostrar avidez de conocimientos. En el siglo VII comenzaron a traducir textos griegos y, entorno al siglo IX, el califa Al-Mamun fundó en Bagdag la Casa de la Sabiduría.

Entre los miembros de este lugar de estudio, que podríamos identificar con una universidad, estaba el matemático y astrónomo Mohammed ibn-Musa Al-Khowarizmi (de su nombre se deriva el término algoritmo). Su obra más importante fue Al-jabr wa'l muqabalah y a partir de este título se establece el término álgebra, ya que fue el libro del que aprendió Europa la rama de la matemática que lleva ese nombre. Este texto viene a estar más próximo al álgebra elemental moderna que las obras de Diofanto o Brahmagupta ya que no trata de resolver problemas, sino que se dedica a la exposición directa y elemental de la resolución de ecuaciones, sobre todo las de segundo grado. A los árabes les gustaba seguir una argumentación lógica correcta y clara de las presimas a la conclusión así como una argumentación sistemática.
La exposición de Al-Khowarizmi era tan sistemática y exhaustiva que sus lectores no debieron encontrar dificultad en dominar el método de resolución. Así podríamos darle el nombre de "padre del álgebra".

Lo más problable es que el sistema de numeración que utiliza provenga de la India, la solución algebraica sistemática de las ecuaciones de segundo grado proceda de Mesopotamia, y el marco geométrico y lógico con que justifica sus soluciones tenga su origen en Grecia. Se trata pues de un claro ejemplo del eclecticismo árabe.

Vientos del Este

Las civilizaciones de China y de la India son mucho más antiguas que las que surgieron en los valles de Mesopotamia y del Nilo, pero sus registros cronológicos son menos fiables que los egipcios y babilónicos.

Uno de los libros chinos más antiguos y de mayor influencia es el Chui-chang-shu, esto es, los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático. En este libro se exponen 246 problemas sobre agrimensura, agricultura, compañía, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de los triángulos rectángulos. Los chinos se dedicaban repetir la vieja costumbre de los egipcios y babilónicos de coleccionar conjuntos de problemas concretos. En este libro hay problemas que están resueltos por reglas de tres, en otros encontramos raíces cuadradas, incluso cúbicas, algunas veces se resuelven sistemas de ecuaciones lineales en los que se han de utilizar números positivos y negativos, y se llega a plantear un sistema de cuatro ecuaciones con cinco incógnitas (asunto muy del agrado de los pueblos orientales).

La época más brillante de la matemática china tuvo lugar en el siglo XIII, al final del periodo Sung. El último y más immportante de los matemáticos Sung fue 四元玉鑒 (Chu Shih-Chieh) que, entorno al año 1300, se ganaba la vida enseñando matemáticas de forma errante. El más famoso de sus libros es Ssu-yüan yü-Chien o Espejo Precioso de los Cuatro Elementos (¡esto es un nombre bonito para un libro!). Los cuatro elementos a los que se refiere el título son el cielo, la tierra, el hombre y la materia, y representan las cuatro incógnitas de una ecuación; esta obra marca la cota más alta que alcanzó el desarrollo del álgebra china y en ella se estudian tanto sistemas de ecuaciones simultáneas como ecuaciones individuales que llegan a tener grado 14.

En la matemática hindú la cronología es muy insegura y presenta problemas históricos difíciles de resolver, ya que los autores hindúes raramente mencionan a sus predecesores. Los hindúes avanzaron respecto a la matemática griega interpretando la nada como un número (el cero), además de considrear igualmente números a las raíces irracionales de otros números.

Hacia el año 600 vivió en la India central Brahmagupta, cuya obra es una mezcla de resultados correctos e incorrectos. El resultado más importante al que llega es la generalización de la fórmula de Herón para calcular el área de un cuadrilátero. Sus contribuciones al álgebra son mucho más importantes que sus reglas para el cálculo de áreas, ya que resuelve ecuaciones generales cuadráticas incluyendo raíces negativas. De hecho, ayuda al desarrollo del análisis indeterminado aportando una regla para la formación de ternas pitagóricas.

En 1114 nace Bhaskara. Se trata del matemático más importante del siglo XII, que completó algunos de los huecos de la obra de Brahmagupta, como hizo al enfrentarse con el problema de la división por cero. En su libro Vija-Ganita es donde nos encontramos por primera vez ante la afirmación de que al dividir un número por cero nos da infinito (otro gigante para Newton). Sin embargo, su obra más importante es el Lilavati, que contiene numerosos problemas que tratan de ecuaciones lineales y cuadráticas, tanto determinadas como indeterminadas, simples problemas de medida de áreas, progresiones aritméticas y geométricas, raíces, ternas pitagóricas...

Aunque queden muy lejos las civilizaciones orientales, tanto en el tiempo como en el espacio, no debemos olvidar que crecieron de forma independiente a las culturas mediterráneas. Esto obliga a reflexionar sobre el hecho matemático. Las matemáticas y sus objetos no tienen su origen en la invención o capricho aislado de una persona, sino que tratan sobre verdades presentes, unas descubiertas, y otras aún por encontrar.